Distribution: Système Maudslay - La théorie complète

C’est un système en apparence très simple, mais en fait assez compliqué à appréhender. Les histoires de pignons, planétaires, etc… sont toujours tout sauf intuitifs… Donc un petit effort de lecture est nécessaire !!! (Sortir éventuellement l’Aspirine…)

• Rappelons quelques définitions de base sur les engrenages :
- Le nombre de dents d’un pignon ou roue dentée est noté « Z ».
- Le module « M » est le rapport entre le diamètre primitif et le nombre de dents :
Dp = M x Z
- Dans un engrenage, les modules des deux composants doivent être les mêmes et leurs diamètres primitifs sont tangents une fois engrenés
- Toute référence dans le texte à un « diamètre » devra s’entendre comme « diamètre primitif ».

• Le principe repose sur l’accroissement d’un angle de calage par rotation d’un pignon sur une roue dentée.



- Prenons une roue dentée et un pignon de même module et nombre de dents, liés par une biellette « OO’ ».
- Prenons un point de référence « M » sur la roue et un autre « P » sur le pignon, calés à 90°. C’est la position appelée « 1 » sur le dessin.
- Faisons rouler le pignon d’un angle « A » sur la roue maintenue fixe. C’est la position « 2 » sur le dessin.
- Le point « P » se retrouve en « P2 », calé non plus à 90° par rapport à « M », mais à un angle "B" = 90° + un angle supplémentaire, avec dans notre exemple « B » = 2 x « A ».
Le point « P » a subi deux effets qui s’additionnent : une rotation autour de « O » (valeur A) pour passer en position « P’ » (imposée par la rotation de OO’ autour de O) et une rotation autour de O’(valeur A) pour passer en position « P2 » (imposée par le roulement) :

Calage « 2 » = Calage « 1 » + angle de basculement + angle de roulement

Cette formule (cas particulier de la formule de Willis) se généralise avec une roue et un pignon qui ont des nombres de dents différents (et donc des diamètres différents) : Prenons une roue avec Z1 dents, un pignon avec Z2 dents et notons K le rapport Z1/Z2.

« B » = « A » + K x « A » = « A » x (K + 1)

• Attaquons maintenant le cas général d’un système où une roue dentée conduit une deuxième roue dentée via deux pignons montés sur un bâti basculant et articulé :



- O, C1, C2, 0’ sont reliés par des biellettes assurant en toute position l’engrènement de toutes les roues et pignons.
- Prenons un point de repère « M » sur la roue « M » et un point « E » sur la roue « E ». Sur le dessin, Position « 1 », ces deux points sont calés à 90°.
- Basculons la biellette 0C1 d’un angle « A ». Le résultat est la Position « 2 ». La roue « E » tourne d’un certain angle « B ». L’angle « B » dépendra bien sûr non seulement des rapports d’engrenage, mais aussi de la géométrie générale, en particulier de la distance OO’. Après analyse, les rapports d’engrenage, l’angle « A », l’angle « C » entre les deux positions de la biellette C1C2 et l’angle « « D » entre les deux positions de la biellette « O’C2 » suffisent à décrire le système.

Posons :  K1= Z de « M » /Z de « P »1 ; K2= Z de « P1 » /Z de « P2 » ; K3=Z de « P2/Z de « E »

- La rotation absolue du pignon P1, Ω1, reprend la formule de base vue ci-dessus :
Ω1 = A x (K1 +1)
- La rotation absolue du pignon P2, Ω2, sera égale à la rotation imposée par celle de P1 modifiée par le rapport d’engrenage K2 à laquelle s’ajoute la rotation imposée par le changement d’angle de la biellette C1C2, noté « C » sur le dessin, et de nouveau calculée selon la formule de base :
Ω2= K2 x  Ω1  + C x (K2+1)
- La rotation absolue de la roue « E », « B », sera égale à la rotation imposée par celle de P2 modifiée par le rapport d’engrenage K3 à laquelle s’ajoute la rotation imposée par le changement d’angle de la biellette O’C2, noté « D » sur le dessin, et de nouveau calculée selon la formule de base :
B= K3 x Ω2 + D x (K3+1)

Cet ensemble d’équations un peu lourd à manipuler se simplifie beaucoup dans le cas où les roues sont semblables ainsi que les pignons et lorsque le quadrilatère 0C1C2O’ est un parallélogramme car dans ce cas :  K3=1/K1 ; K2=1 ; « C » =0 ; « D » = « A ».
Ce qui donne :
Ω1 = A x (K1 +1)
Ω2=  Ω1
B= A x (K1+1)/K1 + A x (1 +1/K) = 2 x  A x (K+1)/K

• Résoudre un cas général demanderait de nombreux calculs de trigonométrie pour déterminer les angles « C » & « D » en fonction de la géométrie de l’assemblage. L’approche la plus simple est de faire un dessin, à l’échelle, du montage que vous envisagez et de mesurer les angles « C » & « D » en fonction de «A».

Prenons un exemple assez typique : Toutes les roues et les pignons sont identiques et nous écartons raisonnablement les axes moteur et excentrique. Sur le dessin, c’est la position « 1 ».



Prenons deux repères « M » & « E » sur les roues moteur & excentrique.
- Dessinons la position finale après avoir basculé l’attelage de pignons de 30°. Nous obtenons la position « 2 ».
- Mesurons les angles « C » & D » :  C = 13° ; D = 29°
- Toutes les roues et pignons étant identiques, K1= K2 = K3 = 1.
- Injectons ces données dans les formules :
Ω1 = A x (K1 +1) = 30 x (1+1) = 60°
Ω2= K2 x  Ω1  + C x (K2+1) =  1 x 60° + 13° x (1 + 1) = 86°
B= K3 x Ω2 + D x (K3+1) = 1 x 86° + 29° x (1 +1) = 144°
Et nous pouvons alors reporter la nouvelle position de « E » sur le dessin.

Avec cette géométrie, une bascule de 30° n’est pas suffisante pour nous donner le décalage de 180° escompté pour passer de marche avant à marche arrière.
Il suffit de refaire rapidement le dessin avec un angle un peu plus important et vérifier que l’on reste toutefois dans des angles de bascule raisonnables. Par exemple, en refaisant la manip avec un angle de basculement de 40° nous obtenons 190°, un peu trop cette fois. Avec deux ou trois essais nous trouverons facilement l’angle nécessaire à un décalage de 180°.

• Pour les réfractaires aux formules et les sceptiques, il est aisé de vérifier la formule ou de résoudre le problème graphiquement en décomposant le mouvement de bascule.
- Reprenons notre exemple, et travaillons cette fois avec un angle de basculement de 37°.
- Prenons des points de repère sur chacun des éléments, M,P1,P2,E et dessinons la position « 2 » après basculement.



- 1ère étape : Revenons à la position « 1 » et faisons rouler le pignon « 1 » sur la roue « M » de 37° en imaginant les biellettes toutes fixes entre elles.  Nous aboutissons à la position Intermédiaire « 1 ». Et sous l’effet du roulement du pignon « 1 » , P1 est passé en P’1, P2 en P’2, E en E’.



Notons l’angle de la biellette liant des deux pignons par rapport à sa position finale : 54°.

- 2ème étape : Libérons la biellette de jonction entre les deux pignons et amenons le pignon 2 à sa position finale. Il faut le faire rouler de 54° sur le pignon 1. P’2 passe donc en P’’2 et E’ en E’’. Nous aboutissons à la position Intermédiaire « 2 ».



Notons  l’angle de la biellette liant le pignon « 2 » à la roue « E » par rapport à sa position finale : 52°

- 3ème étape : Libérons la biellette entre le pignon 2 et la roue E et amenons la roue E en position finale. Il faut la faire rouler de 52° sur le pignon 2. E’’ passe donc en E’’’. Nous retrouvons toutes les roues et pignons en position finale « 2 ».



Et nous mesurons le changement de calage entre la position initiale de « E » en position « 1 » et « E’’’ » : 176°. Pas bien loin de notre objectif de 180°.

Une vérification rapide avec les formules (angles « C » & « D » relevés sur le premier schéma) :
Ω1 = A x (K1 +1) = 37° x (1+1) = 74°
Ω2= K2 x  Ω1  + C x (K2+1) =  1 x 74° + 17° x (1 + 1) = 108°
B= K3 x Ω2 + D x (K3+1) = 1 x 108° + 34° x (1 +1) = 176°

Heureusement, il y a bien concordance entre la méthode graphique et les formules….

Voilà, tout ce qu'il faut pour concevoir un système " Maudslay".