Comment calculer la vitesse d'une maquette de bateau?

Une question revient souvent sur les forums : Connaissant la vitesse réelle d’un bateau, quelle devrait être la vitesse du modèle ? Les réponses les plus courantes vont de « On va toujours trop vite » à « La formule admise est de diviser la vitesse réelle par la racine carrée de l’échelle ».
« Admise » ne donnant guère de détails, je me suis penché d’un peu plus près sur le sujet pour essayer de comprendre la source de ces coefficients et de mieux appréhender cette histoire de vitesse. Je n’ai pas été déçu ! Ce n’est pas très simple… J’ai résumé ci-dessous le résultat de mes recherches et ce que j’en ai compris, en limitant les formules et les calculs au minimum.
Il faut d’abord définir ce que l’on entend par « la bonne vitesse » du modèle. Pour moi c’est celle qui sera plaisante à l’œil, avec une hauteur de vague d’étrave bien proportionnée à la hauteur de proue et un « joli » sillage… Rien de bien rationnel ou mathématique là-dedans !

Note : Tout ce résumé traite uniquement des coques dites « à déplacement » et ne s’applique pas aux coques dites semi-planantes ou planantes. Donc ne sont concernés que les chalutiers, remorqueurs, cargos, pétroliers, paquebots et autres navires du même genre.

• Approche N°1 - Mise à l’échelle directe :
Le principe est de garder la proportion entre la longueur du bateau et la vitesse. Avec :
- « L » la longueur du bateau réel et « V » sa vitesse de croisière.
- « Lm » la longueur de la maquette et « Vm » sa vitesse de croisière.
Le temps « T » nécessaire au bateau grandeur pour parcourir sa propre longueur sera :
T = L/V
Le temps « Tm » nécessaire à la maquette pour parcourir sa propre longueur sera :
Tm = Lm/Vm
On veut que T= Tm. Donc L/V = Lm/Vm et on en déduit très simplement :
Vm = V x (Lm/L) soit Vm = V x rapport d’échelle.
Prenons l’exemple d’un bateau de 30m de long ayant une vitesse de croisière de 12nd, soit 22km/h. La maquette est réalisée au 1/30 ème. La vitesse de la maquette devrait donc être :
Vm = 22 x (1/30) = 22/30 = 0,7km/h c’est à dire, 12m/mn. Ça ne fait pas beaucoup !!! Un marcheur moyen fait aisément du 4km/h.
A cette faible vitesse, il n’y aura aucune vague d’étrave et l’effet visuel sera inexistant. Le problème est tout simple : On met tout à l’échelle sauf les caractéristiques du média porteur, l’eau. La densité, viscosité, etc… du fluide restent les mêmes que pour le grandeur, ainsi que tout l’environnement.
En aéromodélisme, il existe le même phénomène, mais là on ne voit pas les perturbations du média porteur, l’air (trainées, tourbillons, etc…) et ce n’est visuellement donc pas gênant. En modélisme naval, l’interaction « média porteur »/ « modèle » est parfaitement matérialisée.
Cette approche n’est donc pas la solution…

• Approche N°2 – Froude & Co :
Au 19ème siècle, Froude, éminent hydraulicien de l’époque, se pencha sur le problème des embarcations tractées et de l’optimisation de la forme de leur coque. L’objectif était de pouvoir réaliser des essais en bassin sur des maquettes, essais qui soient représentatifs du comportement du bateau « grandeur » correspondant.
Il eut l’idée d’essayer de lier la masse d’un navire (Force de pesanteur) représentée par son déplacement « D » (Archimède) à la résistance à l’avancement (Force d’inertie) créée par la vague d’étrave (Rv). A partir de toute une série d’essais, il a établi que « Rv » était proportionnel à « D ». Soit :

Rv = k x D            k étant une constante de proportionnalité sans dimension.

Puis à l’aide de modèles mathématiques assez simples (dont je vous fais grâce), il a calculé une valeur théorique de ce coefficient de proportionnalité :

Rv = (V²/(L x g)) x D avec V la vitesse, L la longueur de la ligne de flottaison, D le déplacement du navire et g l’accélération de la pesanteur.

Et c’est la racine carrée de ce coefficient V²/(L x g) que l’on appelle le nombre de Froude, noté F :

F = V/ √(L x g)

La valeur de ce coefficient n’est pas en elle-même significative et les essais en bassin montrent d’ailleurs qu’il est très surestimé (de 5 à 40 fois trop important !!!). Il ne peut donc être utilisé directement pour prédire la résistance de vague d’un navire de déplacement D & longueur L.
Mais, beaucoup plus intéressant, de nombreux essais ont confirmé que si deux navires « A » & « B » de même forme de coque, de longueur «La » & « Lb » et de déplacement « Da » & « Db » naviguent à des vitesses « Va » & « Vb » telles que leurs nombres de Froude « Fa » & « Fb » ont la même valeur alors leurs ratios « résistance de vague/déplacement »,  « Rva/Da » & « Rvb/Db »,  seront égaux. L’objectif initial était atteint : On pouvait prédire la résistance de vague d’’un bateau à partir d’essais sur des maquettes en bassin.

Reprenons notre navire « grandeur » et notre maquette définis au chapitre précédent et appliquons ce principe :
- Le nombre de Froude du navire « grandeur » est :  F = V/ √(L x g)
- le nombre de Froude de la maquette est : Fm = Vm/√(Lm x g)
Pour respecter la condition ci-dessus il faut :
F = Fm  soit : V/ √(L x g) = Vm/√(Lm x g)
Donc :
Vm = V x( √(Lm x g)/ (√(L x g))
Vm = V x (√(Lm/L)
Vm =V x √(rapport d’échelle)

Voilà donc l’origine de « La formule admise est de diviser la vitesse réelle par la racine carrée de l’échelle »….

Avec l’exemple de notre bateau de 30m naviguant à 22km/h et sa maquette réalisée au 1/30ème :

Vm = 22 x √(1/30) = 22/√(30) = 4km/h

Au moins, à cette vitesse, on verra le bateau se déplacer, un sillage et un peu de moustaches. La hauteur de la vague d’étrave, le sillage seront-ils plaisants à l’œil et réalistes ? Il n’y a pas de certitude mathématique. Tout ce que l’on peut dire, c’est qu’à cette vitesse les ratio Rv/D de la maquette et du grandeur seront les mêmes…
Cette approche devrait d’ailleurs être cohérente avec la méthode classique de calcul de la puissance à installer utilisant le ratio puissance/kg…

Note : On trouve dans la littérature des références à un « coefficient de Taylor » noté T. C’est en fait la même chose que le coefficient de Froude mais il ne prend pas en compte la constante d’accélération de la pesanteur « g » :
Coef de Froude : F = V/ √(L x g)
Coef de Taylor : T = V/ √(L)
Dans le Système International d’unités : Coef de Taylor = 3,132 x Coef de Froude

• Un problème impossible à résoudre?
Avec notre histoire de vitesse de maquette, on s’attaque aux très complexes problèmes de similitude ! Comment transposer des phénomènes physiques d’une maquette à la taille réelle et vice-versa… Et là, il a été écrit des milliers de pages de calculs, intégrales, matrices, etc… On va faire beaucoup plus simple !
Pour avoir une similitude parfaite, il y a tout un tas de règles à respecter :
- Similitude géométrique : Ca on sait faire, c’est notre échelle classique.
- Similitude cinématique : Le rapport des accélérations doit être le même en tout point. Pas impossible.
- Similitude dynamique : Le rapport des forces appliquées doit être le même en tout point. On ne doit pas en être trop loin.
- Similitude de Froude : Rapport des forces d’inertie aux forces de pesanteur. Nous en avons parlé au chapitre précédent. C’est possible.
- Similitude de Reynolds : Rapport des forces d’inertie aux forces de viscosité.

Cette dernière n’a pas été traitée ! C’est l’interaction entre notre maquette et le fluide, l’eau. Elle se traduit, comme pour celle de Froude, par l’étude d’un coefficient dit « de Reynolds » et généralement noté Re :

Re = (V x L)/ ν      avec V une vitesse représentative de l’écoulement, L une longueur représentative et ν la viscosité dynamique du fluide.

Pour notre application, V sera la vitesse du bateau, L la longueur de ligne de flottaison et ν celle de l’eau.

Pour avoir une similitude de Reynolds, il faut que les coefficients du grandeur et de la maquette soient égaux. En reprenant les notations précédentes et puisque l’on ne change pas le fluide (l’eau !) :

Re  = Rem

(V x L)/ν = (Vm x Lm)/ν
Donc : Vm = (V x L)/Lm = V x échelle

Et là ça coince ! il faudrait multiplier la vitesse du grandeur par l’échelle ! On va vite oublier…

D’une manière générale, il est impossible de satisfaire à la fois la similitude de Froude et celle de Reynolds en conservant le même fluide. Il faudrait pouvoir satisfaire à la fois deux équations :

Froude :      Vm = V x √(rapport d’échelle)
Reynolds :   Vm = V x échelle

La seule solution est d’avoir :  √(Lm/L) = L/Lm
Soit :  √(rapport d’échelle) = échelle
Et ce ne peut être vrai que pour L=Lm, c’est à dire que si la maquette est de la même taille que le grandeur !!!!

• Et la vitesse critique ?
Un autre critère que l’on retrouve dans la littérature…
Quand on jette un caillou dans une mare, on génère un système d’ondes à la surface. Ces ondes sont caractérisées par deux choses ;
- Leur vitesse de propagation
- Leur longueur d’onde
L’avancement d’un bateau génère de même une vague d’étrave. Des études poussées d’hydrodynamique et des essais ont montré que :
- La vitesse de propagation de la vague est celle du bateau.
- Que la longueur d’onde «  λ » et la vitesse « V »  étaient liées par une relation assez simple :
λ  = 2πV²/g

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En général, on exprime V en fonction de λ ou bien on étudie leur ratio :  

V = √(g/2π) x √( λ )   ou   V/√( λ ) = √(g/2π)

√(g/2π) est une constante dont la valeur va dépendre du système d’unités. Je vous donne, conversions faites, les valeurs selon le système utilisé:
- Dans le Système International on a
                         V(m/s) = 1,25 x √ λ (m)     ou      V/√( λ ) = 1,25
- Pour avoir la vitesse en km/h :
                          V(km/h) = 4,5 x √ λ (m)     ou      V/√( λ ) = 4,5
- Avec la vitesse en nœuds et la longueur d’onde en mètres :
                           V(nd) = 2,43 x √(λ (m)      ou      V/√( λ ) = 2,43
- Avec la vitesse en nœuds et la longueur d’onde en pieds :
                           V(nd) = 4,4 x √ λ (ft)          ou      V/√( λ ) = 4,4

La longueur d’onde augmente donc avec la vitesse. Il est alors intéressant de comparer cette longueur d’onde résultante avec la longueur du bateau ou plus exactement la longueur de la ligne de flottaison dynamique (Ld) qui, avec l’effet de la vague d’étrave, est différente de la ligne de flottaison statique (Ls). 3 cas possibles sont résumés sur la vue suivante :

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- Cas N° 1 :
La vitesse est telle que la longueur d’onde (λ) est plus petite que la longueur de la ligne de flottaison dynamique. On aura alors :  
λ < Ld et donc V/√( Ld ) < 1,25. Mais V/√( Ld ) est aussi le coefficient de Taylor et on peut aussi décrire ce cas en écrivant que T < 1,25.
Le bateau navigue « posé » sur le train de vagues.
- Cas N° 2 :
La vitesse est telle que la longueur d’onde (λ) est égale à la longueur de la ligne de flottaison dynamique. On aura alors :  
λ = Ld et donc V/√( Ld ) = 1,25. Ou T = 1,25.
Le bateau navigue pile-poil « dans » sa vague.
- Cas N° 3 :
La vitesse est telle que la longueur d’onde (λ) est plus grande que la longueur de la ligne de flottaison dynamique. On aura alors :  
λ > Ld et donc V/√( Ld ) > 1,25 ou T > 1,25.
Le bateau navigue dans le creux de l’onde. L’arrière s’enfonce et un mur d’eau se crée à la proue. Plus on essaye d’augmenter la vitesse et plus prononcé est ce mur et la résistance augmente de manière hyperbolique sans que la vitesse augmente de manière significative.

La limite à ne pas dépasser correspond donc au cas charnière où la longueur d’onde de la vague d’étrave est égale à la longueur de la ligne de flottaison dynamique. C’est la vitesse correspondante que l’on nomme « vitesse critique « Vc » :

Vc = 1,25 x √(Ld) dans les unités standards.

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En pratique et pour des raisons évidentes d’économie, cargo, pétroliers, etc… auront plutôt une vitesse de croisière (Vitesse économique) largement inférieure correspondant à une longueur d’onde comprise entre la moitié et les deux tiers de leur longueur.

Reprenons l’exemple de notre bateau de 30m à l’échelle 1/30ème. En première approximation nous prenons la longueur totale comme longueur de ligne de flottaison dynamique, soit 1m. Avec la formule donnant la vitesse en km/h :

Vc = 4,5 x √(Ld) = 4,5 x √(1) = 4,5km/h

Pas très différent du résultat avec le coefficient de Froude, mais c’est un hasard…
Au-delà de cette vitesse, on viderait les accus rapidement tout en faisant chauffer contrôleurs et moteurs sans vraiment rien gagner !

Note 1 : Dans ce chapitre, on a différencié « Ligne de flottaison statique » & « Ligne de flottaison dynamique ». Considérons 2 bateaux « A » & « B » de même déplacement et même longueur de ligne de flottaison statique « Ls »

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La seule différence est la forme de la poupe qui ne joue aucun rôle, bateau immobile. Mais on voit immédiatement que la forme allongée de la poupe du bateau « B » permettra avec l’amplitude de la vague d’avoir une longueur de ligne de flottaison dynamique nettement plus importante que pour le bateau « A ». Et donc la vitesse critique du bateau « B » sera plus élevée que celle du bateau « A ». En d’autres termes, à puissance égale, le bateau « B » ira plus vite que le bateau « A ».

Note 2 : Il est possible d’appréhender cette histoire de vitesse critique d’une autre manière… Lorsque l’on fend une bûche à la hache mais seulement sur la moitié de sa hauteur, la hache écarte les deux moitiés et l’énergie cinétique de la hache est stockée par élasticité dans les fibres. Lorsque l’on retire la hache, cette énergie est restituée et referme la bûche. De même, la proue du bateau « fend » l’eau et l’énergie est stockée dans la vague et ses filets de fuite. Lorsque le bateau est passé, les filets d’eau se referment. Si la vitesse est telle que les filets se referment sur la poupe, la vague va restituer une partie de l’énergie accumulée au bateau par pincement et le propulser vers l’avant. Si la vitesse est trop importante, la vague se referme loin derrière la poupe et toute l’énergie est perdue pour le bateau. De nouveau, une forme bien étudiée de la poupe permettra de maximiser cette récupération d’énergie.
Sur la vue ci-dessous, la vitesse et la longueur du bateau « B » sont parfaitement accordées et à puissance égale il naviguera plus vite que le bateau « A ».

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Tout ça, c’est l’art et la science de l’architecte naval…  Et imaginez les calculs et les essais quand il faut en plus tenir compte de la gite sur un voilier de course… Et optimiser le tout en tenant compte des résistances de frottement que nous avons négligé dans ce résumé…

• Conclusions :
1 - Il n’y a pas de formules magiques permettant de définir la vitesse idéale de nos modèles.
2 - La modélisation exacte de la vague d’étrave et du sillage est impossible.
3 – Une méthode pour choisir hélice et vitesse rotation, est de calculer la vitesse selon Froude et la vitesse critique approchée avec Ld= Lm de la ligne de flottaison. Prendre la plus élevée pour le calcul et le choix de l’hélice. Vous serez ainsi certain d’avoir ce qu’il faut sous la manette ! Les plus raisonnables pourraient se contenter des 2/3 de la vitesse critique. Pour rappel :
                 Froude : Vm = V x √(rapport d’échelle)
                 Vitesse critique = 1,25 x √(Lm)  (V en m/s, Lm en m)
4 – Seuls des essais en navigation permettront de définir la vitesse donnant le résultat le plus réaliste.

Dans le cas de notre maquette, le calcul selon Froude avait donné 4km/h et celui selon la vitesse critique 4,5km/h. Probablement qu’une vitesse autour de 3km/h serait suffisante.

Le schéma suivant résume le processus de définition de la vitesse de la maquette et du choix du moteur électrique correspondant tels que je le propose : (mais le calcul de la vitesse s’applique tout pareil à la vapeur !)

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Et voilà !!! Je me suis « cultivé » sur de nombreux sites internet pour rédiger ce « digest », du plus simple au plus complexe. Que tous les auteurs de ces articles et thèses soient remerciés...

Je me suis bien amusé à résumer ce truc…

Ces bases permettent de mieux comprendre (tout au moins par moi...) des tas de choses que l’on rencontre dans les documents techniques traitant des coques et des performances des navires. Je n’en ai pas trop mis dans le résumé précédent pour ne pas alourdir un sujet déjà assez long… Vu l’intérêt et pour ceusses qui suivent (        ), je peux quand même clarifier et ajouter quelques trucs :

1 - Ne pas oublier que ces formules sont assez simplifiées pour représenter des phénomènes complexes. En tant que tel elles donnent une solide première approximation, un ordre de grandeur raisonnable pour éviter deux pièges classiques dans le calcul d’une motorisation mais ne prétendent pas être d’une précision absolue:
- Pas assez de tours moteurs et pas assez de puissance. Impossible de naviguer de façon réaliste et le moteur va chauffer.
- Beaucoup trop de tours moteurs et soit on mouline, l’hélice cavite perdant toute efficacité et on vide les accus très vite ; soit on navigue avec un filet de gaz et contrôleur et moteur travaillent bien loin de la plage idéale. Et le pilotage n’a rien d’agréable.

2 - Etant des formules générales, elles représentent une moyenne ne tenant pas forcément compte des spécificités de la coque. Par exemple, il est bien évident qu’une coque à déplacement joliment dessinée avec un maître bau plutôt vers l’avant, un profil se resserrant vers la poupe pour épouser au mieux les lignes de fuite et une voute à la poupe permettant de récupérer une partie de l’énergie de la vague aura de meilleures performances qu’une coque style péniche. De ce que j’ai pu trouver dans la littérature et d’après de nombreux essais, si l’on prend la formule classique pour la vitesse critique:
          Vc(km/h) = 4,5 x √(λ (m))
Le coef de 4,5 peut en fait varier de 4,5 à 5,0. A vous d’évaluer la qualité de votre coque et si justifié de choisir un coef un peu au-dessus de 4,5.

3 – On peut comparer les vitesses critiques du grandeur(Vcg) et de la maquette (Vcm) :
Vcg = 4,5 x √(Lg)
Vcm = 4,5 x √(Lm)
Donc Vcm/Vcg = √(Lm)/ √(Lg) = √(Lm/Lg) = √(ratio échelle)
Soit : Vcm = Vcg x √(ratio échelle)
Rassurant de voir que l’on retrouve la formule dérivée de Froude liant d’une manière générale les vitesses du grandeur et de la maquette. Au moins c’est cohérent ! Bon cette formule ne sert pas à grand chose, la vitesse critique d’un navire n’étant généralement pas publiée.

4 – On peut combiner la formule de Froude et celle de la vitesse critique pour obtenir la valeur du coefficient de Froude correspondant à la vitesse critique. Avec les notations du post précédent, les deux formules sont:
F= V/ √(Lxg)
V/√( λ ) = √(g/2π)
La vitesse critique est atteinte lorsque la longueur d’onde  λ est égale à L.
Vc/√( L ) = √(g/2π) d’où Vc = √( L ) x √(g/2π)

Et donc, le coefficient de Froude à la vitesse critique (Fc) est :

Fc = Vc/ √(Lxg)
Fc = √( L ) x √(g/2π)/ √(Lxg)= √(1/2π) = 0,4

On peut alors pour chaque bateau calculer le nombre de Froude correspondant à sa vitesse maximale et le comparer à cette valeur de 0,4. De nombreuses études utilisent ce genre de classification :

• F << 0,4 : En général, 0,2 à 0,25. Correspondant aux pétroliers, minéraliers, méthaniers, gaziers… Des trucs gros où l’économie de fuel prime largement sur la durée du transport.
• F < 0,4 : Disons autour de 0,3. Correspondra aux cargos, gros chalutiers. On ne veut pas trop consommer, mais faut pas trop traîner non plus.
• F=0,4 : Pour les paquebots, les ferries, les porte-containers. Là, la durée du transport doit être aussi courte que possible mais avec une consommation de fuel raisonnable. On reste juste sous ou à la vitesse critique.
• F> 0,4 : Disons 0,45 à 0,5. On tombe dans le domaine militaire avec entre autres les croiseurs et les porte-avions. L’économie n’est plus l'enjeu principal. On pousse les moteurs et le bateau va commencer à monter sur la vague. La poupe s’enfoncera un poil. Paraît que pour les porte-avions ce léger angle avec la grande vitesse face au vent facilite les décollages et appontages. Je ne suis pas spécialiste, mais ça me paraît logique.
• F>> 0,4 : Disons 0,6 à 0,65. De nouveau, domaine militaire pour les escorteurs, patrouilleurs, avisos, etc… On consomme énormément pour gagner quelques km/heure… Mais paraît que c’est important…
• F> 0,7 : Là on rentre dans le domaine des coques planantes et c’est une autre histoire…

Voilà, pour ce petit complément….