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rookie78Admin- Messages : 1227
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Design d'une coque pour motorisation "Vapeur'"
Lun 2 Juil - 10:35
Lors du lancement d'une nouvelle maquette, il y a deux situations possibles :
1 - La construction sera faite d'après un plan du " commerce ", déjà prouvé et testé avec un ensemble " moteur " similaire (poids, encombrement, etc…) à celui que vous avez prévu.
2 - Vous partez d'un dessin grandeur et devez choisir l'échelle vous-même et prévoir l'implantation de votre groupe de propulsion.
Dans le premier cas, pas de questions à se poser et si le plan est de bonne facture il ne devrait pas y avoir de mauvaises surprises.
Dans le deuxième, il est bon avant de lancer le chantier de vérifier l'adéquation de la taille prévue de la maquette avec son poids (flottabilité) et de s'assurer de sa stabilité.
Il est bien connu que plus un bateau est lourd " en haut " moins il est stable et plus il " roule ":
- Ce problème se pose rarement avec une propulsion électrique, le moteur (relativement léger) étant en fond de cale ainsi que les accus faisant office de lest.
- Par contre, avec une machine à vapeur la situation est bien différente : Nos machines ne sont pas à l'échelle du modèle ! Elles sont proportionnellement beaucoup plus lourdes et encombrantes. En particulier, leur centre de gravité sera relativement nettement plus haut.
Les risques de trop " enfoncer " ou de voir chavirer sa maquette à la première navigation sont réels, faibles s'il s'agit d'une chaloupe bien ventrue, nettement plus élevés dans le cas d'un canot effilé ou d'un petit lance-torpille par exemple. Et même si elle ne chavire pas elle pourrait avoir un comportement pas très sympathique au roulis.
Si le dessin est fait avec un logiciel spécialisé " architecture marine ", vous aurez en général tous les outils pour faire les calculs. Par contre si vous partez de plans papiers mis à l'échelle à la photocopieuse (ou êtes réfractaire à la DAO !), il vous faudra faire le travail de vérification " à la main ". Une méthode approchée mais suffisante est détaillée ci-dessous, basée sur des notes rédigées par P.Bernard (Bobino) après une expérience malheureuse avec l'un de ses modèles…. Et oui, ça peut arriver aux meilleurs… Rien de très compliqué, pas de calculs à rallonge, mais quelques trucs et astuces bien commodes.
• Les bases nécessaires (petite révision) :
- Les histoires d'échelle:
Pour les longueurs, largeurs, hauteurs, etc… c'est tout simplement le rapport entre la longueur du grandeur et celle de la maquette. Par exemple, au 10ème (échelle 1/10) les 12m du grandeur se traduisent par une longueur de maquette de 12m/10 = 1,2m. Et inversement, ce qui fera 20cm sur la maquette correspondra à un truc de 20cmx10=200cm=2m sur le grandeur.
Pour les surfaces on joue avec le carré de l'échelle. Une surface est une longueur multipliée par une longueur. Un carré de 1mx1m du grandeur a une surface de 1m2. Mis à l'échelle 1/10ème il aura une surface de 0,1mx0,1m= 0,01m2. Soit 100 fois moins. Ce qui correspond à l'échelle au carré, (1/10)x(1/10)=1/100.
Pour les volumes, cette fois, c'est le cube de l'échelle qui joue. Un volume est une longueur multipliée par une longueur multipliée par une longueur. Un cube de 1mx1mx1m du grandeur a donc un volume de 1m3. Mis à l'échelle 1/10ème il aura un volume de 0,1mx0,1mx0,1m=0,001m3. Soit 1000 fois moins. Ce qui correspond à l'échelle au cube, (1/10)x(1/10)x(1/10)=1/1000. Et comme un poids est un volume X masse volumique, ce sera aussi l 'échelle au cube qui permettra la mise aux dimensions.
- Le centre de gravité :
On peut en donner diverses définitions. On en retiendra trois : 1) C'est le point d'application du poids d'un corps. 2) Le solide considéré est en équilibre autour de ce point. 3) C'est aussi le point par lequel passe toujours la résultante (verticale) du poids d'un élément ou d'un ensemble de solides. Nous allons nous servir de cette petite propriété bien utile.
Pour les formes géométriques basiques, la position du centre de gravité est connue : Centre de la sphère pour une boule, croisement des diagonales pour un carré ou un rectangle, croisement des médianes pour un triangle, centre du cercle pour un disque,etc…
Pour des formes complexes, le calcul est nettement plus compliqué… Soit on les décompose en élément connus et on re-compose les centres de gravité, soit on s'en sort avec une petite manipulation, très simple si l'objet est homogène dans la troisième dimension (épaisseur constante) ou symétrique par rapport au plan vertical médian:
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On découpe dans du carton rigide la forme de notre objet éventuellement après une réduction à une échelle adéquate. On la suspend par une ficelle à partir d'un point quelconque et on trace la ligne verticale L1. On répète la même opération avec un deuxième point d'accroche quelconque et on trace la ligne verticale L2. Le centre de gravité est à l'intersection de L1 & L2 et dans le plan de symétrie. Si l'épaisseur n'était pas constante ou symétrique, il faudrait répéter avec un troisième point hors du plan vertical médian.
- Le moment d'une force :
Le moment traduit l'aptitude d'une force " F " à faire tourner un ensemble mécanique autour d'un point ou d'un axe situé à la distance " L " de la direction d'application de la force. De nouveau, dans les cas que nous traiterons, ce moment " M " se calculera simplement : M= F x L
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- Combinaison de plusieurs solides :
Il est bien souvent nécessaire de trouver la position du centre de gravité d'un ensemble de solides dispersés dans l'espace pour pouvoir les combiner et faire quelques calculs. Le cas général est assez compliqué à résoudre. Heureusement pour nous, la majorité des situations que nous aurons à traiter sont beaucoup plus simples.
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Considérons le cas où nous avons 3 solides S1, S2, S3 de poids respectifs P1, P2, P3 disposés longitudinalement dans la coque et à des largeurs et hauteurs différentes. Question : Quel devrait être le Poids St d'un solide unique et sa position pour qu'il produise les mêmes effets que les 3 solides de départ (équivalence)?
. Pour calculer le poids de St, c'est une simple addition : Pt = P1+P2+P3.
. Pour déterminer sa position, nous utilisons les moments. Pour que le solide unique ait le même effet que les trois solides distincts, il faut qu'il produise le même moment total que les 3 solides séparés et ce selon les trois directions.
Traitons d'abord sa position longitudinale. Prenons comme référence un point pivot quelconque " O " et tirons un axe horizontal. Notons A, B & C les intersections de cet axe avec les verticales passant par les centres de gravité des trois solides. Les moments exercés par les 3 solides sont donc :
M1 = OA x P1 ; M2 = OB x P2 ; M3 = OC x P3
Le moment exercé par le solide unique serait : Mt = OD x Pt, avec " D " sa position longitudinale que nous recherchons.
Nous voulons Mt = M1 + M2 + M3 soit :
OD x Pt = (OA x P1) + (OB x P2) + (OC x P3)
La seule inconnue est OD et donc OD= ((OA x P1) + (OB x P2) + (OC x P3))/Pt
On le note aussi sous forme d'une somme pondérée:
OD = OAx(P1/Pt) + OBx(P2/Pt) + OCx(P3/Pt)
Notons que dans ce calcul, les positions verticales et latérales des solides n'interviennent pas.
Nous avons donc la position longitudinale du centre de gravité. Pour obtenir les positions latérale et verticales, il suffit de refaire la même opération selon les axes correspondants :
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Si vraiment les petits calculs précédents vous rebutent, et que les distances entre les différents éléments sont faibles, vous pouvez aussi faire un montage :
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Disposer les différents solides sur une planchette en respectant les positions longitudinales. Lorsque la planchette est en équilibre sur le rouleau, le point de tangence est à la verticale du centre de gravité. Répéter la même manip pour les positions latérales et verticales (poser les éléments sur la tranche) en respectant cette fois les positions latérales et verticales.
Très simple à faire par exemple pour le groupe de chauffe si tous les éléments (tank gaz, chaudière, etc…) sont sur une même platine. Même pas besoin de planchette.
Voilà, nous avons toutes les bases nécessaires pour la suite des opérations…
• Estimation du poids de la maquette :
Sans doute la partie la plus ingrate ! Pas de solution magique, il faut estimer le poids de chacun des éléments. L'échelle de la maquette et donc les dimensions utilisées à cette étape sont celles que vous souhaiteriez de prime abord.Il faut faire une liste exhaustive des différents éléments et pour chacun d'eux estimer le volume.
. Pour la coque et le pont, cela veut dire en général compter le nombre et la longueur des baguettes… Pour les couples et la quille il faut d'abord déterminer leur surface. Soit en CAO qui fera le calcul pour vous, soit tout bêtement en reportant leur profil sur du papier quadrillé ou millimétré et en comptant les carrés. Ne reste plus qu'à multiplier par l'épaisseur et la masse volumique pour avoir le poids.
Masse volumique de matériaux courants :
- Samba : 450kg/m3 = 450gr/dm3 = 0,45gr/cm3
- Tilleul : 500kg/m3 = 500gr/dm3= 0,5gr/cm3
- Noyer :660kg/m3 = 660gr/dm3 = 0,66gr/cm3
- Peuplier : 460kg/m3 = 460gr/dm3=0,46gr/cm3
- Balsa : 140kg/m3 = 140gr/dm3 = 0,14gr/cm3
- CTP courant : 500kg/m3 = 500gr/dm3=0,5gr/cm3
- CTP bouleau aviation : 700kg/m3= 700gr/dm3=0,7gr/cm3
. Même type d'estimation pour les superstructures.
Majorer le total obtenu d'au moins 25% pour tenir compte des petits renforts non détaillés, de la colle, mastic, résine, peinture… Mieux vaut une estimation un peu haute que trop basse. On peut toujours ajouter du lest, mais on ne peut pas alléger une structure terminée…
. Pour la machinerie et les éléments techniques c'est plus rapide… Soit vous les avez sous la main et il suffit de les peser soit vous vous référez aux documents du fabricant…
Nous avons donc maintenant les deux nombres nécessaires pour la suite de l'évaluation :
Pc = Poids coque + superstructures et Pm =Poids machine + éléments techniques
Et bien sûr Pt = Pc + Pm = Poids Total.
• Contrôle des lignes d'eau (flottabilité):
Il s'agit de s'assurer qu'avec le poids global déterminé précédemment la maquette respectera la ligne de flottaison du plan. C'est ce bon vieil Archimède qui entre en jeu !
De nouveau, deux situations possibles :
- Vous aviez non seulement le plan, mais aussi les caractéristiques du grandeur, dont le poids en ordre de marche. Il vous suffit alors de mettre le poids à l'échelle et de comparer à celui de la maquette. Ce qui compte, c'est le poids de la masse d'eau déplacée. Donc un volume. Pour mettre le poids à l'échelle de la maquette, il faut donc utiliser le cube de l'échelle. Par exemple, si le grandeur a un poids global de 10t et que la maquette est à l'échelle 1/10ème, le poids de la maquette doit être de 10T x (1/10)³ soit 10 000kg/1000=10kg.
- Si vous n'avez pas ces données, la première étape est de déterminer le volume de carène qui permet de calculer la poussée d'Archimède lorsque le bateau est dans ces lignes et donc le poids total max acceptable de la maquette. Une méthode approchée est décrite ci-dessous :
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Recopier sur du papier quadrillé quelques couples. Généralement 4 ou 5 suffisent pour avoir une précision acceptable. Repérer sur chacun la ligne de flottaison et déterminer la surface S située sous cette ligne (en comptant bêtement les carreaux). On fait ensuite une interpolation entre ces couples pour obtenir un volume de carène approché. Un exemple en suivant la figure précédente :
La = 10cm ; Lb= 13cm ; Lc=13cm ; Ld= 13cm ; Le=13cm ; Lf=6cm. Avec donc une longueur de la ligne de flottaison de 60cm.
Sa = 14cm2 ; Sb = 29cm2 ; Sc = 38cm2 ; Sd =26cm2 ; Se = 11cm2
Entre " 0 " et " A ", nous calculons la surface moyenne, 0 en " 0 " et Sa en " A ", soit (0+14)/2=7cm2. Et nous utilisons cette surface moyenne pour calculer le volume de carène ente " 0 " et " A " distants de La=10cm : Va= 7x10=70cm3.
On répète la même opération entre les autres couples :
Vb= 13x(14+29)/2=279,5cm3
Vc= 13x(29+38)/2= 435,5cm3
Vd= 13x(38+26)/2= 416cm3
Ve= 13x(26+11)/2= 240,5cm3
Vf= 6x(11+0)/2=33cm3
Volume de carène = 70+279,5+435,5+416+240,5+33= 1474,5cm3. A la précision du calcul, on dira que le volume de carène est de 1500cm3. Le poids de la masse d'eau déplacée est donc de 1,5kgs. Et le poids total de la maquette doit être égal à cette valeur pour tomber dans ses lignes.
Si nous avions estimé le poids de cette maquette d'environ 60cm de long (sur nos plans d'origine ) à 1,2kgs et le poids des équipements techniques (machine et accessoires) à 2,8kgs, le poids total était Pt=1,2+2,8=4Kgs. Trop lourd de (4-1,5) =2,5kgs, ça coule!! Il va falloir changer d'échelle, " agrandir " la maquette pour qu'elle puisse accueillir l'ensemble vapeur.
Le volume de carène doit passer de 1,5 à 4kgs, soit être multiplié par 4/1,5= 2,7. Nous travaillons avec des volumes, donc le cube des échelles. Il faudra multiplier nos cotes initiales par un facteur " F "tel que FxFxF=2,7. Soit dans notre exemple 1,4. Et donc la longueur de la maquette passera de 60cm à 60x1,4=84cm.
Avec ce changement de taille, le poids de la machinerie ne change pas mais par contre le poids de la maquette augmente. Il est peu probable que l'on change l'épaisseur du bordage ou celle des couples. C'est seulement proportionnellement à la surface que le poids de la maquette va augmenter et donc selon le carré de l'échelle : 1,2x(1,4x1,4)= 2,4kgs.
Notre nouvelle situation : Pt= 2,4+2,8=5,2kgs pour un volume de carène de 4kgs. L'écart c'est réduit mais existe toujours. On refait donc deux ou trois fois le même calcul pour trouver la taille qui va bien.
Au final, avec une taille de 95cm au lieu des 60 de départ nous aurons :
Volume de carène= 5900cm3 et donc une poussée d'Archimède de 5,9kgs.
Poids des équipements techniques toujours à 2,8kgs. Poids de la maquette de 3kgs.
Et donc un poids total de 5,8kgs. Là, c'est bon ça flotte. Et le facteur d'échelle que nous avons dû appliquer à notre dessin de départ est 95/60=1,58.
Note : Dans cette façon de faire, nous avons conservé toutes les proportions du bateau, le même facteur d'échelle étant appliqué à toutes les dimensions. On pourrait fort bien décider de faire la maquette plus effilée ou plus ventrue… Le calcul se fera selon le même principe. Par contre le tirage des plans sera moins évident puisqu'il faudra une échelle d'agrandissement différente longitudinalement et transversalement.
- La méthode décrite est simple et ne demande pas de moyens particuliers. Par contre, nous avons fait beaucoup d'estimations tant sur le calcul du poids de la maquette que sur celui du volume de carène. Alors, qu'elle serait par exemple l'incidence d'une erreur dans le calcul du poids ? Pour la chiffrer, il nous faut l'estimation (encore une !) de la surface de flottaison (surface du plan à l'intérieur de la ligne d'eau). Nous procédons comme pour le calcul du volume de carène, en interpolant les surfaces entre deux couples.
Sur le dessin originel, nous avions les largeurs des couples au niveau de la ligne de flottaison :
Ta= 8cm ; Tb=11cm ; Tc=14cm ; Td= 10cm ; Te= 6cm
Surface entre proue et couple " A " : 10 x (0+
/2=40cm2
Entre A & B : 13 x (11+/2 = 124cm2
Entre B & C : 13 x (14+11)/2 = 163cm2
Entre C & D : 13 x (10+14)/2 =156cm2
Entre D & E : 13 x (6 +10)/2 = 104cm2
Entre E & F : 6 x (0 + 6)/2 = 18cm2
Soit une surface de flottaison de 605cm2 sur le modèle initial. Il faut le corriger avec le facteur d'échelle appliqué, soit 1,58 ; C'est une surface, donc :
Surface de flottaison de la maquette finale = 605 x 1,58 x1,58 = 1510cm2=15dm2
Admettons une erreur de 15% sur l'estimation du poids de notre ensemble, soit une erreur de : 5,8kgs x 0,15= 0,9kgs. C'est déjà beaucoup étant donné que le poids principal, celui des équipements techniques devrait être précis. Le tirant d'eau augmentera de 0,9/15=0,06dm=6mm.
Erreur acceptable. On voit que l'on doit pouvoir " vivre " avec nos " estimations "… Et pour faire tous ces calculs, ne vous inquiétez pas du niveau d'eau dans la chaudière !! Considérez -là remplie à moitié, un compromis…
• Stabilité :
- Lorsque le bateau flotte bien horizontal et immobile, le poids du bateau Pt et la force de poussée d'Archimède Pa s'équilibrent. Le centre de gravité du bateau Cg et le centre de carène Cc1 sont sur la même verticale. Donc aucun effet de moment ou de couple.
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Lorsque le bateau s'incline, la position du centre de gravité Cg du bateau ne change pas (si la cargaison est bien arrimée !...). Par contre, la forme du volume de carène a changé et le centre de carène s'est déplacé. On a bien sûr toujours Pa=Pt (flottabilité). Et donc Sc1=Sc2.
Si le bateau est bien dessiné, le décalage du point d'application de la poussée d'Archimède engendre un moment de rappel qui tend à redresser le bateau. Ce moment est caractérisé par la position du métacentre "M", situé à l'intersection de l'axe du couple et de la verticale passant par ce nouveau centre de carène Cc2. Pour que le moment soit un moment de " redressement " et non de " " renversement, il faut que M soit plus haut que Cg. Plus la distance L sera importante et plus élevé sera ce moment, plus énergique le redressement et meilleure la stabilité. Avec des calculs savants, on peut calculer la fréquence du roulis, son amortissement, etc… Mais ça dépasse de très loin le cadre de cette petite étude…
La position du métacentre va varier selon l'angle d'inclinaison et la forme des couples. " L "ne sera pas constant de la poupe à la proue. Mais pour valider rapidement notre design, on se contera de vérifier le comportement au niveau du maître-couple avec une inclinaison de 15 à 20°. A moins d'avoir une coque très torturée, si c'est bon à ce niveau et dans ces conditions, une mauvaise surprise est très improbable.
Quelle doit être la valeur de " L " ? Pour des cargos ou paquebots de 150m, la littérature indique des valeurs de 0,3 à 0,4m. Notre méthode étant approximative, il semble qu'avec un " L " de 3cm pour une maquette d'environ 1m de long on doit être tranquille.
- Pour réaliser ce contrôle sur notre maquette, il nous faut déterminer deux choses : La position verticale du centre de gravité (latéralement, il sera par définition dans le plan de symétrie lorsque le bateau est équilibré à plat) et la position du centre de carène sous une gîte de 20°.
Pour déterminer la position verticale du centre de gravité avec une précision acceptable, il suffit d'appliquer les principes décrits au début de ce mémo, basés sur les moments. On peut décomposer la maquette en 4 parties, simples à évaluer et à combiner :
. La coque et les couples : Leur masse est assez uniformément répartie verticalement. Découper dans un carton rigide le profil de la coque et utiliser le système de suspension par ficelles pour obtenir la position du Cg-coque.
. La quille : Le poids est principalement en fond de carène. On considère que son CG-quille est à la moitié de sa hauteur.
. Les superstructures : Avec un peu d'observation et éventuellement soit une manip à la ficelle ou un premier calcul de type " moment " on récupère la position verticale du CG-SS.
. L'ensemble vapeur : De nouveau soit avec un calcul soit avec le truc de la planchette on évalue la position de son CG_Moteur.
Avec les positions de ces quatre CG et les poids correspondants, il suffit alors d'en faire la somme pondérée (moments) pour obtenir la position verticale du CG de la maquette.
Pour déterminer la position Cc2 du centre de carène avec une gîte de 20°, deux étapes sont nécessaires. On va travailler sur le maître couple, " C " dans notre exemple.
. Détermination de la position de la ligne de flottaison lors de la gîte: Première chose, découper dans du carton rigide la forme du couple à l'échelle finale déterminée précédemment et y coller un papier quadrillé. Tracer la ligne de flottaison avec la gîte de 20° " à l'œil ". Et compter les carreaux formant la surface Sc2. Comparer avec Sc1. Dans notre exemple, Sc1= 38cm2 x1,58x1,58 = 95cm2. Si Sc2 est trop faible, remonter la ligne de flottaison (en gardant le parallélisme avec la ligne originelle). La baisser si Sc2>Sc1.
. Détermination du centre de carène Cc2 : Une fois la position de la ligne de flottaison déterminée, découper le couple en carton selon cette ligne et ne garder que la partie située sous la ligne. Puis utiliser le système de suspension par une ficelle en 2 ou 3 points pour récupérer la position de Cc2.
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. Il ne reste plus qu'à reporter cette position sur le dessin du couple en position de gîte à 20°, tracer l'axe de symétrie du couple et une verticale passant par Cc2 pour obtenir, à l' intersection, le métacentre " M ". Vérifier qu'il est plus " haut " que Cg et à une distance acceptable (environ 3cm).
Sinon, il faut revoir le dessin de la coque ! Augmenter le tirant d'eau, élargir le maître couple, etc…
• Installation longitudinale de la machine :
Nous avons éventuellement une double contrainte : Il faut que l'orifice fumée de la chaudière coïncide avec la cheminée du bateau telle que figurant sur les plans (si elle existe) et il faut essayer de placer le centre de gravité du groupe vapeur le plus près possible longitudinalement du plan transversal du centre de carène. Cette position évitera de devoir ajouter du lest à la poupe ou à la proue pour équilibrer la maquette. Surcharge inutile, autant avoir une machinerie un peu plus puissante, ou plus de réserve d'eau, etc… Autre avantage : Plus la masse est rassemblée autour du centre de carène et meilleure est la capacité d'évolution et plus réduit sera le rayon de giration (comme un patineur qui ramène les bras le long du corps pour pivoter plus vite…).
Il nous faut donc trouver la position longitudinale approximative du centre de carène. Reprenons le dessin et les estimations faites sur le dessin originel. Nous avions estimé un volume de carène total de 1 500cm3. Le centre de carène sera dans un plan tel que le volume à l'avant de ce plan soit le même que le volume à l'arrière. Soit 1500/2= 750cm3.
La somme de Va+Vb+Vc= 785cm3. Le plan du centre de carène sera donc un poil en avant du couple " C ".
785 - 750=35cm3.
Lc, distance entre les couples " B " & " C " était de 13cm et le volume entre eux de Vc=435,5cm3. Un volume de 35cm3 correspondra donc à une longueur de (13 *35)/435,5 = 1cm soit 1 x 1,58=1,6cm après mise à l'échelle finale.
C'est donc dans ce plan qu'il faut essayer de placer le centre de gravité de la machinerie. Il toujours possible de jouer avec la position des composants par rapport à la chaudière, moteur, tank gaz, bâches, etc… pour ajuster un peu le CG du groupe et essayer de trouver le meilleur compromis.
Voilà l'étude terminée. Sans faire appel à des logiciels d'architecture marine et sans calculs bien compliqués. Plus long à écrire et décrire qu'à faire ! Le temps passé au niveau de la conception sera récompensé par un comportement garanti " sain " en navigation. Et merci à Pierre pour le partage et les idées.
1 - La construction sera faite d'après un plan du " commerce ", déjà prouvé et testé avec un ensemble " moteur " similaire (poids, encombrement, etc…) à celui que vous avez prévu.
2 - Vous partez d'un dessin grandeur et devez choisir l'échelle vous-même et prévoir l'implantation de votre groupe de propulsion.
Dans le premier cas, pas de questions à se poser et si le plan est de bonne facture il ne devrait pas y avoir de mauvaises surprises.
Dans le deuxième, il est bon avant de lancer le chantier de vérifier l'adéquation de la taille prévue de la maquette avec son poids (flottabilité) et de s'assurer de sa stabilité.
Il est bien connu que plus un bateau est lourd " en haut " moins il est stable et plus il " roule ":
- Ce problème se pose rarement avec une propulsion électrique, le moteur (relativement léger) étant en fond de cale ainsi que les accus faisant office de lest.
- Par contre, avec une machine à vapeur la situation est bien différente : Nos machines ne sont pas à l'échelle du modèle ! Elles sont proportionnellement beaucoup plus lourdes et encombrantes. En particulier, leur centre de gravité sera relativement nettement plus haut.
Les risques de trop " enfoncer " ou de voir chavirer sa maquette à la première navigation sont réels, faibles s'il s'agit d'une chaloupe bien ventrue, nettement plus élevés dans le cas d'un canot effilé ou d'un petit lance-torpille par exemple. Et même si elle ne chavire pas elle pourrait avoir un comportement pas très sympathique au roulis.
Si le dessin est fait avec un logiciel spécialisé " architecture marine ", vous aurez en général tous les outils pour faire les calculs. Par contre si vous partez de plans papiers mis à l'échelle à la photocopieuse (ou êtes réfractaire à la DAO !), il vous faudra faire le travail de vérification " à la main ". Une méthode approchée mais suffisante est détaillée ci-dessous, basée sur des notes rédigées par P.Bernard (Bobino) après une expérience malheureuse avec l'un de ses modèles…. Et oui, ça peut arriver aux meilleurs… Rien de très compliqué, pas de calculs à rallonge, mais quelques trucs et astuces bien commodes.
• Les bases nécessaires (petite révision) :
- Les histoires d'échelle:
Pour les longueurs, largeurs, hauteurs, etc… c'est tout simplement le rapport entre la longueur du grandeur et celle de la maquette. Par exemple, au 10ème (échelle 1/10) les 12m du grandeur se traduisent par une longueur de maquette de 12m/10 = 1,2m. Et inversement, ce qui fera 20cm sur la maquette correspondra à un truc de 20cmx10=200cm=2m sur le grandeur.
Pour les surfaces on joue avec le carré de l'échelle. Une surface est une longueur multipliée par une longueur. Un carré de 1mx1m du grandeur a une surface de 1m2. Mis à l'échelle 1/10ème il aura une surface de 0,1mx0,1m= 0,01m2. Soit 100 fois moins. Ce qui correspond à l'échelle au carré, (1/10)x(1/10)=1/100.
Pour les volumes, cette fois, c'est le cube de l'échelle qui joue. Un volume est une longueur multipliée par une longueur multipliée par une longueur. Un cube de 1mx1mx1m du grandeur a donc un volume de 1m3. Mis à l'échelle 1/10ème il aura un volume de 0,1mx0,1mx0,1m=0,001m3. Soit 1000 fois moins. Ce qui correspond à l'échelle au cube, (1/10)x(1/10)x(1/10)=1/1000. Et comme un poids est un volume X masse volumique, ce sera aussi l 'échelle au cube qui permettra la mise aux dimensions.
- Le centre de gravité :
On peut en donner diverses définitions. On en retiendra trois : 1) C'est le point d'application du poids d'un corps. 2) Le solide considéré est en équilibre autour de ce point. 3) C'est aussi le point par lequel passe toujours la résultante (verticale) du poids d'un élément ou d'un ensemble de solides. Nous allons nous servir de cette petite propriété bien utile.
Pour les formes géométriques basiques, la position du centre de gravité est connue : Centre de la sphère pour une boule, croisement des diagonales pour un carré ou un rectangle, croisement des médianes pour un triangle, centre du cercle pour un disque,etc…
Pour des formes complexes, le calcul est nettement plus compliqué… Soit on les décompose en élément connus et on re-compose les centres de gravité, soit on s'en sort avec une petite manipulation, très simple si l'objet est homogène dans la troisième dimension (épaisseur constante) ou symétrique par rapport au plan vertical médian:
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On découpe dans du carton rigide la forme de notre objet éventuellement après une réduction à une échelle adéquate. On la suspend par une ficelle à partir d'un point quelconque et on trace la ligne verticale L1. On répète la même opération avec un deuxième point d'accroche quelconque et on trace la ligne verticale L2. Le centre de gravité est à l'intersection de L1 & L2 et dans le plan de symétrie. Si l'épaisseur n'était pas constante ou symétrique, il faudrait répéter avec un troisième point hors du plan vertical médian.
- Le moment d'une force :
Le moment traduit l'aptitude d'une force " F " à faire tourner un ensemble mécanique autour d'un point ou d'un axe situé à la distance " L " de la direction d'application de la force. De nouveau, dans les cas que nous traiterons, ce moment " M " se calculera simplement : M= F x L
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- Combinaison de plusieurs solides :
Il est bien souvent nécessaire de trouver la position du centre de gravité d'un ensemble de solides dispersés dans l'espace pour pouvoir les combiner et faire quelques calculs. Le cas général est assez compliqué à résoudre. Heureusement pour nous, la majorité des situations que nous aurons à traiter sont beaucoup plus simples.
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Considérons le cas où nous avons 3 solides S1, S2, S3 de poids respectifs P1, P2, P3 disposés longitudinalement dans la coque et à des largeurs et hauteurs différentes. Question : Quel devrait être le Poids St d'un solide unique et sa position pour qu'il produise les mêmes effets que les 3 solides de départ (équivalence)?
. Pour calculer le poids de St, c'est une simple addition : Pt = P1+P2+P3.
. Pour déterminer sa position, nous utilisons les moments. Pour que le solide unique ait le même effet que les trois solides distincts, il faut qu'il produise le même moment total que les 3 solides séparés et ce selon les trois directions.
Traitons d'abord sa position longitudinale. Prenons comme référence un point pivot quelconque " O " et tirons un axe horizontal. Notons A, B & C les intersections de cet axe avec les verticales passant par les centres de gravité des trois solides. Les moments exercés par les 3 solides sont donc :
M1 = OA x P1 ; M2 = OB x P2 ; M3 = OC x P3
Le moment exercé par le solide unique serait : Mt = OD x Pt, avec " D " sa position longitudinale que nous recherchons.
Nous voulons Mt = M1 + M2 + M3 soit :
OD x Pt = (OA x P1) + (OB x P2) + (OC x P3)
La seule inconnue est OD et donc OD= ((OA x P1) + (OB x P2) + (OC x P3))/Pt
On le note aussi sous forme d'une somme pondérée:
OD = OAx(P1/Pt) + OBx(P2/Pt) + OCx(P3/Pt)
Notons que dans ce calcul, les positions verticales et latérales des solides n'interviennent pas.
Nous avons donc la position longitudinale du centre de gravité. Pour obtenir les positions latérale et verticales, il suffit de refaire la même opération selon les axes correspondants :
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Si vraiment les petits calculs précédents vous rebutent, et que les distances entre les différents éléments sont faibles, vous pouvez aussi faire un montage :
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Disposer les différents solides sur une planchette en respectant les positions longitudinales. Lorsque la planchette est en équilibre sur le rouleau, le point de tangence est à la verticale du centre de gravité. Répéter la même manip pour les positions latérales et verticales (poser les éléments sur la tranche) en respectant cette fois les positions latérales et verticales.
Très simple à faire par exemple pour le groupe de chauffe si tous les éléments (tank gaz, chaudière, etc…) sont sur une même platine. Même pas besoin de planchette.
Voilà, nous avons toutes les bases nécessaires pour la suite des opérations…
• Estimation du poids de la maquette :
Sans doute la partie la plus ingrate ! Pas de solution magique, il faut estimer le poids de chacun des éléments. L'échelle de la maquette et donc les dimensions utilisées à cette étape sont celles que vous souhaiteriez de prime abord.Il faut faire une liste exhaustive des différents éléments et pour chacun d'eux estimer le volume.
. Pour la coque et le pont, cela veut dire en général compter le nombre et la longueur des baguettes… Pour les couples et la quille il faut d'abord déterminer leur surface. Soit en CAO qui fera le calcul pour vous, soit tout bêtement en reportant leur profil sur du papier quadrillé ou millimétré et en comptant les carrés. Ne reste plus qu'à multiplier par l'épaisseur et la masse volumique pour avoir le poids.
Masse volumique de matériaux courants :
- Samba : 450kg/m3 = 450gr/dm3 = 0,45gr/cm3
- Tilleul : 500kg/m3 = 500gr/dm3= 0,5gr/cm3
- Noyer :660kg/m3 = 660gr/dm3 = 0,66gr/cm3
- Peuplier : 460kg/m3 = 460gr/dm3=0,46gr/cm3
- Balsa : 140kg/m3 = 140gr/dm3 = 0,14gr/cm3
- CTP courant : 500kg/m3 = 500gr/dm3=0,5gr/cm3
- CTP bouleau aviation : 700kg/m3= 700gr/dm3=0,7gr/cm3
. Même type d'estimation pour les superstructures.
Majorer le total obtenu d'au moins 25% pour tenir compte des petits renforts non détaillés, de la colle, mastic, résine, peinture… Mieux vaut une estimation un peu haute que trop basse. On peut toujours ajouter du lest, mais on ne peut pas alléger une structure terminée…
. Pour la machinerie et les éléments techniques c'est plus rapide… Soit vous les avez sous la main et il suffit de les peser soit vous vous référez aux documents du fabricant…
Nous avons donc maintenant les deux nombres nécessaires pour la suite de l'évaluation :
Pc = Poids coque + superstructures et Pm =Poids machine + éléments techniques
Et bien sûr Pt = Pc + Pm = Poids Total.
• Contrôle des lignes d'eau (flottabilité):
Il s'agit de s'assurer qu'avec le poids global déterminé précédemment la maquette respectera la ligne de flottaison du plan. C'est ce bon vieil Archimède qui entre en jeu !
De nouveau, deux situations possibles :
- Vous aviez non seulement le plan, mais aussi les caractéristiques du grandeur, dont le poids en ordre de marche. Il vous suffit alors de mettre le poids à l'échelle et de comparer à celui de la maquette. Ce qui compte, c'est le poids de la masse d'eau déplacée. Donc un volume. Pour mettre le poids à l'échelle de la maquette, il faut donc utiliser le cube de l'échelle. Par exemple, si le grandeur a un poids global de 10t et que la maquette est à l'échelle 1/10ème, le poids de la maquette doit être de 10T x (1/10)³ soit 10 000kg/1000=10kg.
- Si vous n'avez pas ces données, la première étape est de déterminer le volume de carène qui permet de calculer la poussée d'Archimède lorsque le bateau est dans ces lignes et donc le poids total max acceptable de la maquette. Une méthode approchée est décrite ci-dessous :
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Recopier sur du papier quadrillé quelques couples. Généralement 4 ou 5 suffisent pour avoir une précision acceptable. Repérer sur chacun la ligne de flottaison et déterminer la surface S située sous cette ligne (en comptant bêtement les carreaux). On fait ensuite une interpolation entre ces couples pour obtenir un volume de carène approché. Un exemple en suivant la figure précédente :
La = 10cm ; Lb= 13cm ; Lc=13cm ; Ld= 13cm ; Le=13cm ; Lf=6cm. Avec donc une longueur de la ligne de flottaison de 60cm.
Sa = 14cm2 ; Sb = 29cm2 ; Sc = 38cm2 ; Sd =26cm2 ; Se = 11cm2
Entre " 0 " et " A ", nous calculons la surface moyenne, 0 en " 0 " et Sa en " A ", soit (0+14)/2=7cm2. Et nous utilisons cette surface moyenne pour calculer le volume de carène ente " 0 " et " A " distants de La=10cm : Va= 7x10=70cm3.
On répète la même opération entre les autres couples :
Vb= 13x(14+29)/2=279,5cm3
Vc= 13x(29+38)/2= 435,5cm3
Vd= 13x(38+26)/2= 416cm3
Ve= 13x(26+11)/2= 240,5cm3
Vf= 6x(11+0)/2=33cm3
Volume de carène = 70+279,5+435,5+416+240,5+33= 1474,5cm3. A la précision du calcul, on dira que le volume de carène est de 1500cm3. Le poids de la masse d'eau déplacée est donc de 1,5kgs. Et le poids total de la maquette doit être égal à cette valeur pour tomber dans ses lignes.
Si nous avions estimé le poids de cette maquette d'environ 60cm de long (sur nos plans d'origine ) à 1,2kgs et le poids des équipements techniques (machine et accessoires) à 2,8kgs, le poids total était Pt=1,2+2,8=4Kgs. Trop lourd de (4-1,5) =2,5kgs, ça coule!! Il va falloir changer d'échelle, " agrandir " la maquette pour qu'elle puisse accueillir l'ensemble vapeur.
Le volume de carène doit passer de 1,5 à 4kgs, soit être multiplié par 4/1,5= 2,7. Nous travaillons avec des volumes, donc le cube des échelles. Il faudra multiplier nos cotes initiales par un facteur " F "tel que FxFxF=2,7. Soit dans notre exemple 1,4. Et donc la longueur de la maquette passera de 60cm à 60x1,4=84cm.
Avec ce changement de taille, le poids de la machinerie ne change pas mais par contre le poids de la maquette augmente. Il est peu probable que l'on change l'épaisseur du bordage ou celle des couples. C'est seulement proportionnellement à la surface que le poids de la maquette va augmenter et donc selon le carré de l'échelle : 1,2x(1,4x1,4)= 2,4kgs.
Notre nouvelle situation : Pt= 2,4+2,8=5,2kgs pour un volume de carène de 4kgs. L'écart c'est réduit mais existe toujours. On refait donc deux ou trois fois le même calcul pour trouver la taille qui va bien.
Au final, avec une taille de 95cm au lieu des 60 de départ nous aurons :
Volume de carène= 5900cm3 et donc une poussée d'Archimède de 5,9kgs.
Poids des équipements techniques toujours à 2,8kgs. Poids de la maquette de 3kgs.
Et donc un poids total de 5,8kgs. Là, c'est bon ça flotte. Et le facteur d'échelle que nous avons dû appliquer à notre dessin de départ est 95/60=1,58.
Note : Dans cette façon de faire, nous avons conservé toutes les proportions du bateau, le même facteur d'échelle étant appliqué à toutes les dimensions. On pourrait fort bien décider de faire la maquette plus effilée ou plus ventrue… Le calcul se fera selon le même principe. Par contre le tirage des plans sera moins évident puisqu'il faudra une échelle d'agrandissement différente longitudinalement et transversalement.
- La méthode décrite est simple et ne demande pas de moyens particuliers. Par contre, nous avons fait beaucoup d'estimations tant sur le calcul du poids de la maquette que sur celui du volume de carène. Alors, qu'elle serait par exemple l'incidence d'une erreur dans le calcul du poids ? Pour la chiffrer, il nous faut l'estimation (encore une !) de la surface de flottaison (surface du plan à l'intérieur de la ligne d'eau). Nous procédons comme pour le calcul du volume de carène, en interpolant les surfaces entre deux couples.
Sur le dessin originel, nous avions les largeurs des couples au niveau de la ligne de flottaison :
Ta= 8cm ; Tb=11cm ; Tc=14cm ; Td= 10cm ; Te= 6cm
Surface entre proue et couple " A " : 10 x (0+
/2=40cm2Entre A & B : 13 x (11+
/2 = 124cm2Entre B & C : 13 x (14+11)/2 = 163cm2
Entre C & D : 13 x (10+14)/2 =156cm2
Entre D & E : 13 x (6 +10)/2 = 104cm2
Entre E & F : 6 x (0 + 6)/2 = 18cm2
Soit une surface de flottaison de 605cm2 sur le modèle initial. Il faut le corriger avec le facteur d'échelle appliqué, soit 1,58 ; C'est une surface, donc :
Surface de flottaison de la maquette finale = 605 x 1,58 x1,58 = 1510cm2=15dm2
Admettons une erreur de 15% sur l'estimation du poids de notre ensemble, soit une erreur de : 5,8kgs x 0,15= 0,9kgs. C'est déjà beaucoup étant donné que le poids principal, celui des équipements techniques devrait être précis. Le tirant d'eau augmentera de 0,9/15=0,06dm=6mm.
Erreur acceptable. On voit que l'on doit pouvoir " vivre " avec nos " estimations "… Et pour faire tous ces calculs, ne vous inquiétez pas du niveau d'eau dans la chaudière !! Considérez -là remplie à moitié, un compromis…
• Stabilité :
- Lorsque le bateau flotte bien horizontal et immobile, le poids du bateau Pt et la force de poussée d'Archimède Pa s'équilibrent. Le centre de gravité du bateau Cg et le centre de carène Cc1 sont sur la même verticale. Donc aucun effet de moment ou de couple.
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Lorsque le bateau s'incline, la position du centre de gravité Cg du bateau ne change pas (si la cargaison est bien arrimée !...). Par contre, la forme du volume de carène a changé et le centre de carène s'est déplacé. On a bien sûr toujours Pa=Pt (flottabilité). Et donc Sc1=Sc2.
Si le bateau est bien dessiné, le décalage du point d'application de la poussée d'Archimède engendre un moment de rappel qui tend à redresser le bateau. Ce moment est caractérisé par la position du métacentre "M", situé à l'intersection de l'axe du couple et de la verticale passant par ce nouveau centre de carène Cc2. Pour que le moment soit un moment de " redressement " et non de " " renversement, il faut que M soit plus haut que Cg. Plus la distance L sera importante et plus élevé sera ce moment, plus énergique le redressement et meilleure la stabilité. Avec des calculs savants, on peut calculer la fréquence du roulis, son amortissement, etc… Mais ça dépasse de très loin le cadre de cette petite étude…
La position du métacentre va varier selon l'angle d'inclinaison et la forme des couples. " L "ne sera pas constant de la poupe à la proue. Mais pour valider rapidement notre design, on se contera de vérifier le comportement au niveau du maître-couple avec une inclinaison de 15 à 20°. A moins d'avoir une coque très torturée, si c'est bon à ce niveau et dans ces conditions, une mauvaise surprise est très improbable.
Quelle doit être la valeur de " L " ? Pour des cargos ou paquebots de 150m, la littérature indique des valeurs de 0,3 à 0,4m. Notre méthode étant approximative, il semble qu'avec un " L " de 3cm pour une maquette d'environ 1m de long on doit être tranquille.
- Pour réaliser ce contrôle sur notre maquette, il nous faut déterminer deux choses : La position verticale du centre de gravité (latéralement, il sera par définition dans le plan de symétrie lorsque le bateau est équilibré à plat) et la position du centre de carène sous une gîte de 20°.
Pour déterminer la position verticale du centre de gravité avec une précision acceptable, il suffit d'appliquer les principes décrits au début de ce mémo, basés sur les moments. On peut décomposer la maquette en 4 parties, simples à évaluer et à combiner :
. La coque et les couples : Leur masse est assez uniformément répartie verticalement. Découper dans un carton rigide le profil de la coque et utiliser le système de suspension par ficelles pour obtenir la position du Cg-coque.
. La quille : Le poids est principalement en fond de carène. On considère que son CG-quille est à la moitié de sa hauteur.
. Les superstructures : Avec un peu d'observation et éventuellement soit une manip à la ficelle ou un premier calcul de type " moment " on récupère la position verticale du CG-SS.
. L'ensemble vapeur : De nouveau soit avec un calcul soit avec le truc de la planchette on évalue la position de son CG_Moteur.
Avec les positions de ces quatre CG et les poids correspondants, il suffit alors d'en faire la somme pondérée (moments) pour obtenir la position verticale du CG de la maquette.
Pour déterminer la position Cc2 du centre de carène avec une gîte de 20°, deux étapes sont nécessaires. On va travailler sur le maître couple, " C " dans notre exemple.
. Détermination de la position de la ligne de flottaison lors de la gîte: Première chose, découper dans du carton rigide la forme du couple à l'échelle finale déterminée précédemment et y coller un papier quadrillé. Tracer la ligne de flottaison avec la gîte de 20° " à l'œil ". Et compter les carreaux formant la surface Sc2. Comparer avec Sc1. Dans notre exemple, Sc1= 38cm2 x1,58x1,58 = 95cm2. Si Sc2 est trop faible, remonter la ligne de flottaison (en gardant le parallélisme avec la ligne originelle). La baisser si Sc2>Sc1.
. Détermination du centre de carène Cc2 : Une fois la position de la ligne de flottaison déterminée, découper le couple en carton selon cette ligne et ne garder que la partie située sous la ligne. Puis utiliser le système de suspension par une ficelle en 2 ou 3 points pour récupérer la position de Cc2.
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. Il ne reste plus qu'à reporter cette position sur le dessin du couple en position de gîte à 20°, tracer l'axe de symétrie du couple et une verticale passant par Cc2 pour obtenir, à l' intersection, le métacentre " M ". Vérifier qu'il est plus " haut " que Cg et à une distance acceptable (environ 3cm).
Sinon, il faut revoir le dessin de la coque ! Augmenter le tirant d'eau, élargir le maître couple, etc…
• Installation longitudinale de la machine :
Nous avons éventuellement une double contrainte : Il faut que l'orifice fumée de la chaudière coïncide avec la cheminée du bateau telle que figurant sur les plans (si elle existe) et il faut essayer de placer le centre de gravité du groupe vapeur le plus près possible longitudinalement du plan transversal du centre de carène. Cette position évitera de devoir ajouter du lest à la poupe ou à la proue pour équilibrer la maquette. Surcharge inutile, autant avoir une machinerie un peu plus puissante, ou plus de réserve d'eau, etc… Autre avantage : Plus la masse est rassemblée autour du centre de carène et meilleure est la capacité d'évolution et plus réduit sera le rayon de giration (comme un patineur qui ramène les bras le long du corps pour pivoter plus vite…).
Il nous faut donc trouver la position longitudinale approximative du centre de carène. Reprenons le dessin et les estimations faites sur le dessin originel. Nous avions estimé un volume de carène total de 1 500cm3. Le centre de carène sera dans un plan tel que le volume à l'avant de ce plan soit le même que le volume à l'arrière. Soit 1500/2= 750cm3.
La somme de Va+Vb+Vc= 785cm3. Le plan du centre de carène sera donc un poil en avant du couple " C ".
785 - 750=35cm3.
Lc, distance entre les couples " B " & " C " était de 13cm et le volume entre eux de Vc=435,5cm3. Un volume de 35cm3 correspondra donc à une longueur de (13 *35)/435,5 = 1cm soit 1 x 1,58=1,6cm après mise à l'échelle finale.
C'est donc dans ce plan qu'il faut essayer de placer le centre de gravité de la machinerie. Il toujours possible de jouer avec la position des composants par rapport à la chaudière, moteur, tank gaz, bâches, etc… pour ajuster un peu le CG du groupe et essayer de trouver le meilleur compromis.
Voilà l'étude terminée. Sans faire appel à des logiciels d'architecture marine et sans calculs bien compliqués. Plus long à écrire et décrire qu'à faire ! Le temps passé au niveau de la conception sera récompensé par un comportement garanti " sain " en navigation. Et merci à Pierre pour le partage et les idées.
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